ทรงกระบอก

ทรงกระบอก

ทรงกระบอก (Cylinder) คือ ทรงสามมิติใด ๆ ที่มีฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับหน้าตัด และอยู่ในระนาบที่ขนานกัน เมื่อตัดทรงสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้ว จะได้รอยตัดเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ

1.      ส่วนประกอบของทรงกระบอก

(ซ้าย คือ ทรงกระบอกตรง, ขวา คือ ทรงกระบอกเอียง)

ทรงกระบอกกลวง

2. พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

        2.1) พื้นที่ผิวข้าง

เมื่อคลี่ส่วนของหน้าตัด และส่วนข้างออกมา จะได้ดังรูป

1) พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก เมื่อคลี่ออกมา เทียบได้กับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2¶rh

2) พื้นที่ฐาน หรือพื้นที่หน้าตัด เป็นพื้นที่รูปวงกลม = ¶r2

2.2) พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่ฐานทั้งสอง

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2¶rh + 2(¶r2)

เมื่อ r แทนรัศมีของฐาน

และ h แทนความสูงทรงกระบอก

3. ปริมาตรของทรงกระบอก

ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × สูง

หรือ ปริมาตรของทรงกระบอก = ¶r2h

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1   จงหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก สูง  5 เซนติเมตร  มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 14  เซนติเมตร 

จาก  พื้นที่ผิวของทรงกระบอก     =    2prh +  2pr²

                                        จะได้  h =  5  เซนติเมตร

                                                r  =  7  เซนติเมตร      (เพราะรัศมียาวเป็นครึ่งหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง)

       แทนค่า พื้นที่ผิวของทรงกระบอก           

                                                    =    220 +  308

                                                    =    528               ตารางเซนติเมตร  

           ตอบ  พื้นที่ผิวของทรงกระบอก คือ     528     ตารางเซนติเมตร

ที่มา

- www.goonone.com

- https://sites.google.com/site/oomawikamay/khnitsastr-phun-than-lekh-hlak/bth-thi-1-phunthi-phiw-laea-primatr

- https://www.google.co.th/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&ved=0CE8QFjAH&url=http%3A%2F%2Fwww.ywkschool.com%2F_files_school%2F57100962%2Fdata%2F57100962_1_20110629-133938.doc&ei=ZtIuUt3gH4auiQfo5YDYBQ&usg=AFQjCNFUpc-kD6fjalPbd86BLtYNTIGeHA&sig2=V--bEXXg8kUeZxVo8ws0dg

วันที่ 10 กันยายน 2556

ปริซึม

ปริซึม

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัด (ฐาน) ทั้งสองเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการและอยู่ในระนาบที่ขนานกัน มีหน้าข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึม

1.      การเรียกชื่อปริซึม

ปริซึมมีหลายลักษณะขึ้นอยู่กับหน้าตัดของรูปนั้นๆ การเรียกชื่อปริซึมนิยมเรียกชื่อตามลักษณะรูปเหลี่ยมของฐาน

2. ส่วนประกอบของปริซึม

3. พื้นที่ผิวของปริซึม

      3.1) พื้นที่ผิวข้าง  พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง

      3.2) พื้นที่ผิว พื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึม = พื้นที่ผิวข้าง + พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย

4. ปริมาตรของปริซึม

ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง

ตัวอย่างโจทย์

Ex.1 ขันครึ่งทรงกลม วัดเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกปากขันได้ยาว 14 นิ้ว ขันใบนี้มีพื้นที่ผิวภายนอกเท่าไร

วิธีทำ ขันมีรัศมี 7 นิ้ว

พื้นที่ผิวครึ่งทรงกลม = 2¶r²

= 2 × ²²/₇ × 7 × 7

= 308 ตารางนิ้ว

ดังนั้น ขันใบนี้มีพื้นที่ผิวภายนอกเท่ากับ 308 ตารางนิ้ว

ตอบ 308 ตารางนิ้ว

Ex.2 ตะกั่วทรงกลม 3 ลูก มีรัศมี 3, 4 และ 5 นิ้ว ตามลำดับ เมื่อหลอมเป็นลูกเดียวจะได้รัศมียาวกี่นิ้ว

วิธีทำ ให้ R แทนรัศมีของตะกั่วทรงกลมที่หลอมแล้ว

ปริมาตรตะกั่วทรงกลมที่หลอมแล้ว = ผลบวกของปริมาตรตะกั่วทรงกลม 3 ลูก

⁴/₃¶R³ = (⁴/₃¶ × 3³) +(⁴/₃¶ ×4³) + (⁴/₃¶ × 5³)

⁴/₃¶R³ = ⁴/₃¶ × (3³ + 4³ + 5³)

R³ = 3³ + 4³ + 5³

R³ = 216

R = 6

ดังนั้น ตะกั่วทรงกลมที่หลอมแล้วมีรัศมียาว 6 นิ้ว

ตอบ 6 นิ้ว

ที่มา 

- http://www.thaigoodview.com/node/46868?page=0%2C7 

- https://sites.google.com/site/oomawikamay/khnitsastr-phun-than-lekh-hlak/bth-thi-1-phunthi-phiw-laea-primatr

- www.thaigoodview.com

- www.myfirstbrain.com

 วันที่ 10 กันยายน 2556

สูตรการหาพื้นที่และปริมาตร

สูตรการหาพื้นที่และปริมาตร

สูตรการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตต่างๆ
1. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ด้าน x ด้าน หรือ 1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

2. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง x ยาว

3. สูตรการหาพื้นที่สามเหลี่ยม = 1/2 x ฐาน x สูง

4. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน = ฐาน x สูง หรือ 1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

5. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ฐาน x สูง

6. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปว่าว = 1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมุม

7. สูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า = 1/2 x เส้นทแยงมุม x ผลบวกของเส้นกิ่ง

8. สูตรการหาพื้นที่วงกลม = พาย x รัศมี²

สูตรการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของรูปเรขาคณิตต่างๆ
ปริซึม

พื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง
พื้นที่ผิวข้างของปริซึม = ความยาวรอบฐาน x ความสูง
ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x ความสูง
พีระมิด

พื้นที่ผิวของพีระมิด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง
พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 1/2 x ความยาวรอบฐาน x สูงเอียง
ปริมาตรของพีระมิด = 1/3 x พื้นที่ฐาน x สูงตรง
ทรงกระบอก

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2¶rh + 2¶r² หรือ 2¶r(h + r)
เมื่อ r เป็นรัศมีของทรงกระบอก และ h เป็นความสูงของทรงกระบอก
ปริมาตรของทรงกระบอก = ¶r²h
กรวย

พื้นที่ผิวของกรวย = ¶rl + ¶r2 หรือ ¶r(l + r)
เมื่อ r เป็นรัศมีของกรวย และ l เป็นความสูงเอียงของกรวย
ปริมาตรของกรวย = 1/3¶r²h
ทรงกลม

พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4¶r2
ปริมาตรของทรงกลม = 4/3¶r³

ที่มา
- http://www.eduktc.com/main.php?inc=chap&chid=332
- www.thaigoodview.com
- www.thaigoodview.com
- web.ofebia.com
- origami-paper.ru
- www.thaigoodview.com
- thai-swedish.blogspot.com
- www.myfirstbrain.com
- kanchanapisek.or.th
- www.istylebox.com
- kanchanapisek.or.th
- www.school.obec.go.th
วันที่ 10 กันยายน 2556

กรวย

กรวย

กรวย คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐาน และเส้นที่ต่อระหว่างจุดยอดกับจุดใด ๆ บนเส้นรอบวงของฐาน เรียกเส้นตรงนี้ว่า  “สูงเอียง”

พื้นที่ผิวของกรวย

          การหาพื้นที่ผิวเอียงของกรวย ทำได้โดยตัดกรวยตามแนวสูงเอียงแล้วคลี่แผ่ออกจะเกิดเป็นรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง

ปริมาตรของกรวย

 ความสัมพันธ์ของปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมือนกับความสัมพันธ์ของปริซึมกับพีระมิด ที่มีส่วนสูงและพื้นที่ฐานเท่ากัน นั่นคือ ปริมาตรของกรวย เป็น 1/3 ของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีพื้นที่ฐานและส่วนสูงเท่ากับกรวย

ตัวอย่าง

1. จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของกรวย ซึ่งสูง 24 เซนติเมตร และเส้นผ่านศูนย์กลาง 14 เซนติเมตร

วิธีทำ

ที่มา

- www.thaigoodview.com

- http://mathonlinefree.blogspot.com/2013/06/13_6884.html

วันที่ 10 กันยายน 2556

ทรงกลม

ทรงกลม

              ทรงกลม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติที่มีผิวโคงเรียบ และจุดทุกจุดบนผิวโคงอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากัน  จุดคงที่นั้นเรียกว่า เส้นผ่านศูนย์กลางของทรงกลม และระยะทางที่เท่ากันนั้นเรียกว่า รัศมีของทรงกลม

1.     ส่วนประกอบของทรงกลม

2. พื้นที่ผิวของทรงกลม พื้นที่ผิวของทรงกลม 

 4¶r2

3. ปริมาตรของทรงกลม ปริมาตรของทรงกลม 

  4/3¶r3 เมื่อ r แทน รัศมีของวงกลม

ตัวอย่าง

1.      ลูกทุ่มน้ำหนักเหล็กทรงกลมลูกหนึ่ง มีเส้นผ่าศูนย์กลางยาว 18 เซนติเมตร  ลูกทุ่มน้ำหนักนี้มีปริมาตรเท่าใด

2.ลูกฟุตบอลลูกหนึ่งวัดความยาวรอบวงกลมใหญ่ได้ 66 เซนติเมตร ถ้าฟุตบอลทำด้วยหนังหนา 0.5 เซนติเมตร จะจุลมได้กี่ลูกบาศก์เซนติเมตร

ที่มา

- http://th49.ilovetranslation.com/UV1vO2a7UJu=d/

- https://sites.google.com/site/oomawikamay/khnitsastr-phun-than-lekh-hlak/bth-thi-1-phunthi-phiw-laea-primatr

- www.myfirstbrain.com

- http://www.goonone.com/index.php/2010-06-07-03-09-30/874--14

 วันที่ 10กันยายน 2556

ปริมาตรพีระมิด

         พีระมิด (Pyramid) คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมซึ่งไม่อยู่บนระนาบเดียวกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลมนั้น

นิยมเรียกชื่อพีระมิดตามลักษณะของฐาน เช่น พีระมิดฐานสามเหลี่ยม พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า พีระมิดฐานหกเหลี่ยมด้านเท่า เป็นต้น

พีระมิดแบ่งออกเป็น 2 ลักษณะ คือ พีระมิดตรง และ พีระมิดเอียง
พีระมิดตรง หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปเหลี่ยมด้านเท่าทุกมุม มีสันยาวเท่ากันทุกเส้น จะมีสูงเอียงทุกเส้นยาวเท่ากัน และส่วนสูงตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งอยู่ห่างจากจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่เป็นฐานมีระยะเท่ากัน มีหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ส่วนกรณีที่มีสันทุกสันยาวไม่เท่ากัน สูงเอียงทุกเส้นยาวไม่เท่ากัน เรียกว่า พีระมิดเอียง

พื้นที่ผิวของพีระมิด

พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกัน เรียกว่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด และพื้นที่ข้างของพีระมิดรวมกับพื้นที่ฐานของพีระมิด เรียกว่า พื้นที่ผิวของพีระมิด

ปริมาตรพีระมิด

ตัวอย่าง 1 : จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านฐานยาวด้านละ 22 เซนติเมตร ส่วนสูง 15 เซนติเมตร

วิธีทำ   สูตร ปริมาตรของพีระมิด =  ¹/₃  × พื้นที่ฐาน × สูง

ได้ปริมาตรของพีระมิดนี้ =   ¹/₃  × ( ด้าน × ด้าน ) × สูง
=    ¹/₃  × ( 22 × 22 ) × 15
=    22  × 22  ×  5
=  2,420  ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตอบ 2,420 ลบ.ซม.

ตัวอย่าง 2 : จงหาปริมาตรของพีระมิดตรงฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านฐานยาวด้านละ 14 เซนติเมตร สูงเอียงยาว 25 เซนติเมตร

วิธีทำ  เนื่องจาก สูตรของปริมาตรพีระมิด =  ¹/₃  × พื้นที่ฐาน × สูง แต่โจทย์ไม่ได้กำหนดส่วนสูงมากให้ ดังนั้น ต้องหาส่วนสูงก่อน

ขั้นที่ 1 หาส่วนสูง

 ให้ AB เป็นความสูงเอียง, AC เป็นส่วนสูง

BC เป็นความยาวครึ่งหนึ่งของด้านฐานยาว คือ 14 ÷ 2 = 7 นิ้ว ตามทฤษฎีปีทาโกรัส ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC

AC²   +  7²     =  25²

AC²              =  625 – 49

AC²              =   576

AC               =   24              

เพราะฉะนั้น ส่วนสูงยาว 24 นิ้ว

ขั้นที่ 2 หาปริมาตร

สูตรของปริมาตรพีระมิด =  ¹/₃  × พื้นที่ฐาน × สูง

ได้ปริมาตรของพีระมิดนี้ =  ¹/₃  × ( ด้าน × ด้าน ) × สูง
=   ¹/₃  × ( 14 × 14 ) × 24
=    14  × 14  ×  8
=  1,568  ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตอบ 1,568 ลบ.ซม.

วีดีโอที่เกี่ยวข้อง

http://www.thaistudyfocus.com/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C/%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%A1%E0%B8%B2%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B8%9E%E0%B8%B5%E0%B8%A3%E0%B8%B0%E0%B8%A1%E0%B8%B4%E0%B8%94/  

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=UyZQcvQz2no   วันที่ 4 กันยายน 2556